多項方程式的根的變換    謝新綠老師

: 前言

:提出問題

(一)一元二次方程式ax2+bx+c = 0有二根α, β滿足

根與係數的關係:α+β =, α β=,試問一元三次(或以上)方程式的根是否也有跟與係數的關係?其關係式如何表示?

(二)設一元n次方程式

n個根

(1) S(m) =

如何求出S(m)的值

(2) L(x) = ax+b, a,bR, a0且令 i = 1,2,3,…,n

那麼以為根的n次方程式如何求得?­

(3)I(x)=,Li )0ri=I(αi ), I=1,2,3,…,n,那麼以r1 , r2,…, rn為根的n次方程式如何求得

()一元二次方程式的解可用公式解表示,那麼三次方程式的解是否可用公式解表示?

:預備定理: ( 見附錄(),() )

    (1)因式定理

(2)代數基本定理

 

貳、問題解答

(一)根與係數的關係: (維塔根定理 Vieta’s  root  theorem)

(二)S(m)的求解方法: 遞迴關係式的運用

(三)根的變換

(1)線性變換---(1)負根變換(2)平移變換(3)倍根變換

    (2)倒根變換

(四)三次方程式的公式解求法: (見附錄())

 

:實例應用:

 

(範例2)已知方程式有三根α, β, γ,試求下列各式的值

(1)

 

 

(4)試求α, β, γ的值.

 

:結語

在三次方程式中,判別式Δ0的條件下,可順利求得三根,但是當Δ<0時,u, v的三次方根就比較複雜,此問題可在複數的開n次方根定理中獲得解決,至於四次方程式的根式解求法,留給同學們去思考,推演,另外五次(或五次以上)方程式的公式解並不存在,同學可參考大學代數、分析的書籍獲得最後結論.

:問題研究:

 

(問題二) 已知一個11次方程式的前三次為並且方程式的根形成一個等差數列,試求此方程式的根.

(問題三) 已知多項方程式有四個實根,其中a, bR,試證明此方程式中的根至少有一個會小於1.

 

(一)因式定理:

a是一實數,則x-af(x)的因式的充要條件為f(a) = 0

(二)代數基本定理:n是一個自然數,則每一個複係數n次方程式至少有一個複數根.

(三)三次方程式的根式解----Cardano 公式

設一元三次方程式為

y = u + v代入y3 + py + q = 0得到

 

u3 + v3+(p+ 3uv)(u+v)+ q = 0

    p+3uv = 0 推出    

 

 

                  

其中1之立方根,滿足= 1

因此 y3+py+q = 0 之三根為

並可求出原方程式的三根x1, x2, x3 .