中學數論 –3.拿許棋   許志農教授

在這節裡,我們介紹一個丹麥人發明的遊戲。數年後,拿許(得過諾貝爾經濟學獎)給了一個看似不可思議且頗為無厘頭的證明,我們將此遊戲稱為拿許棋。

接下來,我們來介紹拿許棋的玩法。

 

3.1拿許棋盤與玩法

如下圖所示,6×6的拿許棋盤是以36個正六邊形舖成的大菱形

 

遊戲規則:平、直雙方輪流將正六邊形的格子填上""""兩字,填過的格子不可再填。直方玩者要在兩條黑虛線地帶間建立一條連續的∣字鏈;同樣的,平方玩者亦要在兩片白色區域間建立一條連續的—字鏈。遊戲直到有一方成功為止,成功建立連續字鏈者勝。如下圖:平、直雙方在經過十八手之後,所填出的—、∣字分佈圖。

                          (直的須貫穿兩黑虛線區;平的要貫穿兩空白處)

 

 

因為上圖中,箭頭通過處是平方所建立的一條貫穿白色區域的一字鏈,所以此盤遊戲平方獲勝。

 

   (同學玩幾遍後,教授統計先玩者比後玩者較易贏,且此種遊戲不會和棋。若先玩者必贏,則不能算是公平的遊戲。)

*此遊戲不能和局的驗証

如果有一盤拿許棋下到最後,直方無法建立一條連續的∣字鏈,我們僅需說平方一定可以建立一條連續的—字鏈即可。操作情形是這樣的:拿一支剪刀將拿這棋盤兩塊白色地帶剪掉,並將平方所填入的—字正六邊形格子剪掉(如下圖所示)

 

   

 

這時將你的左右手分別拿住上下黑虛線區往外拉。直方沒有建立連續的∣字鏈,所以上下黑虛線區域是不連的,也就是說,貼近北邊路徑必是平方所建立的一條連續的—字鏈。因此,拿許棋是不會和棋的。

 

 

      動手玩數學

如下圖:3×3的方格棋盤(可產生24條水平或垂直的小線段)稱之為3階鬼腳棋盤。虛、實雙方分別依序將此24條水平或垂直的小線段塗以虛線段或實線段。當虛方的虛線段可以從左邊連接到右邊時,虛方勝;反之,當實方的實線段可以從上邊接到下邊時,實方勝(誰先連線,誰先贏)。例如下圖是虛、實雙方交戰之後的結果,明顯的可以看出,實方的實線段可以從上貫穿到下方,所以此盤由實方贏。

 

 

                                                                                        

 

 

 

                                            (可推廣至nn)

 

 

有關此遊戲:

(1)是否有可能和棋。(很容易就和棋,但是高手易和或下錯易和)

(2)是否為公平的遊戲。

 

l       作業(共三題)

1.本題目是一則三維度的不等式(因為含有三個未知數)。照理說,每個維度都應有對應的不等式存在才是,所以我們提出最一般化的猜想如下:設實數

            

讀者應該容易利用數學歸納法證明這個猜想吧!

 

 

2.一條環形公路上有個加油站,它們所儲的汽油總量足夠一輛汽車在整個環形公路上行駛一週。證明:帶著空油罐(容量很大)的汽車能夠從某個汽油站出發(帶上該站的汽油),完成環形公路上整個旅程。

 

 

3.有三堆石頭,分別是101315顆。兩人玩輪流拿石頭的遊戲,規定每次拿石頭時,必須從三堆中的某一堆拿(至少拿一顆),將石頭拿完者獲勝。試問:先玩者或者是後玩者有必勝的策略?