中學數論 –2. 數學歸納法   許志農教授

當你研究一則數學問題時,常會發生的事情是:你可以猜想到問題的答案或者是公式(不等式),但是卻沒有辦法證明它。如果你的公式(或者是不等式)是與正整數相關的式子,那麼數學歸納法將提供你一個方便證明方法。這裡的目的就是要提出一些利用數學歸納法解決問題的範例,以供讀者參考。

        數學歸納法的版本很多,最常用的方式是:先檢驗欲證的等式(或者不等式)在時成立。其次假設此等式(或者不等式)在時成立,然後利用假設的結果證明時亦成立。這是最常用的第一種數學歸納法。事實上,我們也常用到第二種數學歸納法。第二種數學歸納法的證明模式也是先檢驗時成立。其次假設時,欲證的結果也成立,然後利用這個假設結果證明時亦成立。

        事實上,數學歸納法的證明方法就如同推骨牌一樣,只要你的版本能夠推倒所有的骨牌(這裡的骨牌是指所有的正整數),那它本身就是一種合法的證明方式,並非一定要墨守成規地使用上述所談的第一種或者是第二種數學歸納法。

 

2.1  用算數騙人的商店

        月餅專賣店為了促銷,想出如下的花招:一盒月餅有n個,售價由顧客玩遊戲來決定。遊戲是這樣的:顧客須將n個月餅分成兩堆(每堆至少一個),並將兩堆的月餅個數相乘,得到第一個乘數。然後再將第一堆及第二堆個別再分為兩堆(每堆至少一個),又可得到兩個乘數。依此繼續下去,直到每一堆剩下一個月餅(不能再分),為止。這樣會產生很多乘數,n個月餅的售價就是這些乘數的和。你知道如何將n個月餅分堆,才最省錢嗎?下圖是阿三在他的分堆方法之下,買五個月餅的錢數。

                 

阿三這樣的分堆買五個月餅需付 6+1+2+1=10元美金。

 

 

如果較聰明,分法不同,則錢數會不同嗎?

如:

           

假設分法不同也得相同價錢,則此價錢為

             

 

 

《另解》不管你如何分堆,買七個月餅都是21元美金。你可以從下圖觀察出來嗎?

2.2 埃及分數

萊茵紙草著埃及人擅長將真分數寫成相異埃及分數的和

 

  

        

埃及分數的和一直困擾埃及人及後來的數學家。

1880年時,西爾威斯特解決了這個問題,他僅用了數學歸納法而已。

 

【證明】我們對分子進行數學歸納法的證明。(∵a是正整數1,2,3,…

 

            0~1的分數必落在某二埃及分數的區間內                    

由歸納法得到:

  習題2.7

(1)    利用西爾威斯特法,將真分數表成若干個相異埃及分數的和。