中學數論---1.不等式   許志農教授

1. 千變萬化的不等式

不等式的問題常讓人有驚奇,摸不著邊,不知從何而降的感覺。大概是因為只看到漂亮的不等式,卻無從洞察製造這不等式的數學在那兒(見樹不見林)。事實上,不等式的問題經常是由幾何圖形或具有特殊性質的函數或生活中的模具所產生的。如何看穿這背後的黑手 圖形或函數或模具,是探索不等式問題的重點。

1.1 條條大路通羅馬的不等式

<分析>


可想到數線上的次序關係

 

此為數線思維

但並非每個人在猜想出題者時,都慣用同一思維,也有底下的方式,雖同是數線次序,但往後的架構不同

證法二

 

也有人把這樣的次序以分數表現

證法三

       

   

   

   

下面還有一代數思維,留作同學自行練習。

 

若有人的幾何思維較強,如何表現其幾何性!

 


【證法四】 (幾何思維)考慮下圖:

 

扣掉共同部分,可得面積甲

       

 

甚而用反證法亦可,只針對其中之一條件,用模式正確出發,則許多方法皆可證明此式。

 

1.2 不知如何下手的不等式

→這樣在0~1間的三數,同學舊有經驗較不足,此時,可採用降低未知數的作法來簡化。

 

【代數-幾何思維】(將視為固定的實數,r視為未知)。

  

故欲證 f (r) < 0

f (r) = ar + b 為一直線圖形函數

f (0) ~ f (1) 皆負,且此數為單調函數,

故介於期間的r,必使f (r)<0

f (r) = ( q + p - 2pq ) r + ( pq – 1 ) = pq + qr + rp - 2pqr - 1

所以此直線在[0,1]區間的值恆為負數,因此

f (r) = pq + qr + rp - 2pqr – 1 < 0得證。

 

以上如能使用直線知識幫助我們解不等式,則不必將此不等式用技巧努力拼湊,如:

再來猜測出題者的幾何模式:

       

 

幾何模型解釋如下:將

 

 

1.3蹺蹺板啟示錄

阿基米德知名的力矩原理是說:如果將一個物體置於槓桿臂上,它會繞著槓桿支點產生力矩,相當於物體的重量成上它與支點的距離。這原理告訴我們越重的物體離支點越遠時,所產生的力矩越大。

我們就以如下的蹺蹺板做例子:


則叫越重的人坐越遠,則所得的力矩和越大。

排序不等式