非線性混沌的簡介

陳鞏教授演講             許秀聰老師整理

1950年出生於高雄,1968年成功中學畢業,1972年清華處所畢業,1974~1977美威斯康辛數學系,在兩所大學擔任助教、副教授,最後在德州一公立大學任教授。德州此大學人口數全美第五大,化學系最優秀。

長年擔任學校教授,使自己心態永保年輕,看見各位很親切,覺得我是one of you

我先問各位一個問題:20世紀,基礎科學上最大的進展在哪裡?請舉出四、五個學科來。

一學生回答:生物科學發現DNA

另一學生回答:Computer的方法有一突破,故可將其從應用科學放入基礎科學。

再一學生指:量子力學雷射貢獻Quantium Mechanics

老師指名:太空科學是應用科學,而非應用基礎科學。

其他學生答:相對論Relativity

最後教授指出:Nonlinearity Sci. & chaos非線性及渾沌。

這是再二十世紀才被人實際研究的,它和線性有何不同。

舉例:

     

     

                  推廣至n個變元亦同。

     其特性為   一實根,兩共軶須根

                三實根

     與線性有解則唯一,有所不同,一般非線性方程皆是多解。

     一直到卡當才針對三次方程式,將朋友的解法整理,而得三次公式解。

3)離散模型

              an+1x0  故人口是指數成長

此為人口學的基本公式,為Malthusian(馬爾薩斯)law。但因社會資源有限,人口不可能無線增長,故此公式須作修正。

 ∵人口損失使彼此人數過多所捵生的衝突,故大致是相對兩者,約同於xn2量。

此為改進公式,稱為Modified Malthusian law

此公式經修正後,也通用其他族群,如池塘的魚量。

針對次公式,作數學變化量降低的簡化

可以較輕鬆的代得多年後的人口數,但對魚群養殖者而言,尚須有長期預測的功能,才能做出建設性的有益處理。此種長期預測的研究菱程醫學們,被稱為動力系統Dynamical System

上例所舉為離散模型Discrete,下面舉連續模型Continuous model

文字方塊:  

4

文字方塊:  在繞行中,有可能各個行星排成一直線,使彼此間的吸引向心力太大,而使地球離開原本運行軌道,故古代占星術會預言各行星排一線,則為世界末日降臨。

此類探討地球是否能擁保穩定地繞台揚運行,極為天文學的基本探究領域。譬如月球被一隕石撞離軌道,導致地球軌道偏離,此種長期預測指出地球在太陽系中並非絕對安全。

 

再回頭談(3)離散模型

雖說已有族群數的變動公式,但其結果比想像複雜。譬如魚池養殖業,有時會發現在同樣飼養情形下,魚群數會在不同的時期有孑然不同的量,會週期地變多再變小。有時是二年一週期的變動,有時右更為四年一週期,其因素並非是氣候等。這問題由Robert May接手,它當初在理論分文字方塊:  析也看不出其道理,故交由電腦程式執行此公式,看看所得結果。作此遞代,執行一萬次左右,發現將最後一百次圖像顯示時,有二個遞代值,此即為二週期的變化。再將a值改以較大的值代入,則出現四個遞代值,此即為週期為四的現象。A值再繼續增大,則為八個遞代值,而a值再繼續增大,則一值一分為二,直到遞代值成為密密麻麻的一片,則週期性被破解,成為chaos(渾沌型態生成)。

 

此為週期加倍成為chaos。這是很有明的例子,裡面使用的函數yn+1fyn  其中初始值y0R

fx)=ax1x)若改以f(x)a sinx作執行,所文字方塊:  得圖形即為有趣,基本上仍是週期加倍的圖像

(實驗逼近而得)目前對次數尚未找出和其他數有任何關聯。不論fx)=ax1x)或f(x)a sinx或其他函數,此值不變。它為Mitchell Feigentaumconstant

 

Mitchell他曾拿自己做實驗,希望打破一天24小時的成規,讓自己今天8點起床,明天延至10點起床,而且想東西喜歡邊走邊實驗,看跟大自然的週期不同有何結果!因為他這個實驗不可能獲得任何結果,故引起老闆的不滿。就是這位奇特而聰明的研究者再物理上找出此一重要常數,但在數學上有粗淺證明,尚未做嚴格驗證。

 

(有同學提問:似不宜稱為宇宙常數,應即使在另一宇宙空間,此常數應仍適用)

繼續對圖像觀察,發現在密密麻麻中存在空白線,但若將此空白快加以放大,仍發現原本總突有同等模式,但∵電腦的近似取法∴無法完整呈現。∴即使有空白區塊,仍是chaos

此種比例尺具縮小,即是Fractal碎形學中所說的縮小與原本同型。此Fractal除了數學的使用,亦可做多方應用,如卡通片中的動物皮毛或森林的數葉細部描繪,不是於人類手工執行,就可用這種Fractal的技術去執行,此為Fractal的實質貢獻。

 

Feature of ChaosChaos的特質)

1)有很多週期解

2)對初始條件非常敏感。

     其意我們由一氣象學的例子來解釋。

     有一氣象學的工作員很喜歡數學,在電腦出現後,亦寫一遞代方程式

    

     以此遞代函數作長期預測,以掌控天氣狀況。在電腦的執行幫助下,繪出氣象圖。有一回因它有一氣象問題要由電腦執行,看其結果;執行完畢後想再一遍,為節省時間,則執行次數減為一半,發現此一更改使結果與前次的結果大為不同。原因是它的輸入值有些為差異,如第一回31.25°→第二回31°,則會使後面的誤差相當大,而形成另一成型模式。

這跟我們生活在物理世界中各個測量均存在有誤差,並不致產生太多影響有所不同。

古典物理    輸入有些微差距→輸出亦同

非線性系統  輸入有些微差距→輸出大大不同

有一英文詩:因少了一根鐵釘,使馬蹄鐵壞了。

            因馬蹄鐵壞,使馬兒死了。

            因死了一匹馬,使騎訊騎兵陣亡。

            因死了一傳訊騎兵,使這場戰役輸了。

            因這場戰役打輸,國家也就滅亡了。

這是非線性系統特有的連鎖變化,使節過出乎意料之外。故氣象學中蝴蝶的振翅,也許造就美國的一場颶風。

3)若一模型有一週期為三的解,指fx)=yfy)=zfz)=x

                                

     則任何週期的解它都存在。這是動力系統中有名的Shakovskin Theorem.

 

底下是師生座談

〈問題一〉∵電腦的近似取法,∴有些圖像並未抓到繪出,故在周期三的情形下,也有可能有些不夠穩定的解夾雜其中,故也有無數多個可能的周期解,這就是被稱為渾沌的主因。

〈問題二〉我曾字型看渾沌學的書籍,對其中有些介紹不能了解?另外,既然連牛頓力學等這些科學大師所提出的理論都具許多不穩定因素,那麼學習是否有何價值?

教授回答:須多找原文的渾沌書多方比較,才能對如此深奧的理論內容有所了解,而且連我久不教也會忘記。而所謂穩定或不穩定的判定,並非那麼淺顯。不要說是天體問題,光是三體問題-太陽、地球、月亮能研究徹底,借可以在歷史上留名。

老師回應:在流體力學上,如果流速太快,則整個系統混亂,故也出現渾沌。這根數學的絕對性的強調似有不同,科學上的量測本有取有效數字的限制,所以對龐大的物質體系本有許多發掘空間。就因為人類對宇宙的不夠了解,所以才會對渾沌採行如此的研究觀點。

教授後續:的確,宇宙未明渾沌現象時存而我們未解。但是否要將畢生投注此一研究,但這問題的確有許多困難度,如自己是否為一大天才,自己所擁有的實驗設備是否比較頂級,可以看到比他人更精密的現象,我個人較期望投入新學說,裡面有較多的發展空間。

教授介紹一書:Chaos