中學數學與大學課程間的關連

張海潮教授  90.12.27

許秀聰老師  整理

 

今天來談這個中學與大學課程間的聯繫,有三個原因:

 

1.      現今大學校數很多,東海大學校長曾說:台灣現有的大學大都是三流大學,台大充其量也僅能說是二流大學。因現今學生生活環境資源豐富,不太能將心力專注在學校課業上;舉例我在台大開的微積分,早上800的課,無法一開始就上課,因為學生才來而已,故必須先慢慢暖場,等20分鐘後才真正開講。學生會視學校的容易混或要求嚴格,而做不同的回應,再看自己投入情形該多少。

 

2.師資多元化-

現今數學系的烙師不一定來自數學系畢業,也許版來試一個高工畢業的畢業生,再補修教育學分或數學專業科目,就能成為一位數學教師,故無法保障教師的師資程度。

在台大,每年招收學生中約有150位可進入教育學成訓練,比例為。他們的審核考試所考的題目也許連我都考不上,或考上也不知如何通過的,故實際性可能不足。

 

3.菁英教育

∵現今教改希望將所有想讀書的人都有機會讀書,強調福利均分,則原來投注在菁英教育的資源就被調走重新分配,使現今許多優秀大學面對教學資源被砍掉縮減,而連帶影響大學執教及對學生逤做的要求,如寫作業的批改...等,都不太去做了。教育辦的不好,將來就沒有足夠的優秀人才可造福群眾。

 

基於這樣的理由,很希望從高中就能掌控學生品質,故來根各位聊聊這種種情況。

 

大學先修(工學院)

基礎 微積分-函數及函數的變化

     線性代數-空間概念及幾何

               代數運算能力(用代數方法解決幾何問題)

進階 工程數學(偏)微分方程

              向量分析(微積分+線代)

              複變

通常在大一之後,工學院學生尚須修4個學期的數學。

 

管理學院

管理數學 微積分

         線性代學-管理學院指的管理數學即為線代。

         機率(隨機過程)

         高微

藥學 藥學動力學(微分方程)-藥品在人體內的反應

     統計-新要須經試驗,臨床而知成效,故得使用統計

生物數學 方程

         離散(基因定序)

         機率

         統計

 

科學計算則是因應電腦的發明及高頻率適用,故須設計一理想較好程式供電腦執行。

 

一個高中生站在升大學的立場,或站在高中學習的角度,該有怎樣的數學素質和涵養,才足以說他的學習完備夠用。但現今考量,似乎將所有高中生都硬擺在同一種立足點上,用同一種教材(雖然出自不同版本、書局,但其寫書根源如初一轍,故並無不同),要求他們學太多實際並無需要的數學。如輾轉相除法沒什麼實際使用價值,它只是在被發現時引人欣賞,若能將它從教材中刪除,絕不影響一位好學生發展數學的能力。

 

這套教材才用三年,目前就在研究如何更改成另一新教材。在私校中,常將一年級每週四節的數學課膨脹,有的名校上七節,才沒有上課的問題。而另外在二年級的情形卻相反,有一位召集人願將數學的每週節數減為三節,而將多餘節數分給其他過趕的學科。這件事引起極大反彈,我被派去做協調,聽過多方看法後,我的意見是:高二每週仍維持四捷克,但教材內容只有三節,留一節彈性時間,和學生作討論,或當場作習題...等。還有應將第四冊的統計改為社會學科教授,而不是拿來作數學的計算測試。統計不像數學要求正確答案,資料解讀對社會學科而言應是必要的。

 

像高中統計考題,可能只是算十位數據的平均、標準差...等,其實才10個數據,直接原始計算即可,不須使用統計方法。統計應從宏觀、大域的狀態來看,在社會學科中教授,才會較具完整的背景。

   

    我們拿其中一些單元來看,那些內容是學生從高中進入大學較須知道且相關的,哪些才是為大學課程作準備的重點。

如:三角函數

    三角恆等式  解三角形  函數圖形

其中三角函數圖形的熟知,才是對大學微積分有所助益的部分,故應特別注意,有較高比重。如sin xx很小時,兩者十分接近,可藉圖形及查表得知此關聯。

    而三角恆等式的公式要是可為止的介紹,只要一些基本的公式,如和角、倍角即可,千萬不要在往下深入至複雜關係。反而,由微積分可知所有三角恆等式,皆可由導出,而解三角形,也只應以正、餘弦定理為主即可。

 

    有一回,一位高中老師問了一個問題:

同時為質數,有多少個p可滿足?

曾反為這位高中老師這題有何意義時,這位老師回答不出來,而即使拿去問數學界泰斗,他也是一實不知如何作答。質數跟的生活實在太遙遠了!有一天我想這依題石,發現當p5時,p是質數,而其他情形則不成立。但知道這個又有何用?不知道亦沒什麼妨礙。我們稱這類多不勝數的問題叫“Lead us now here

 

    數學有許多歷史包袱-譬如尺規作圖,質數,最近友人提出尺規作圖更退化的情形,那就是只用員規作圖,有兩點在,不必用尺連成直線,我實在不知道這種作法的重心何在。而雖然密碼學用到質數理論,但不很深,等到要用時再去學就可以了。因此我們在試著了解數學的主幹微和,而什麼只是枝葉,該放在什麼觀點下學習才會容易,什麼觀點又使它變困難。

 

    有一回我去某校跟學生講課,特異先請那些高中生提一些困難題目,讓我當場求解。結果有一題是

證明cos xcos ycos z1其中xyz2x, y, z0

 

雖然也可用高中方法求解,但這教適用於使用大學的微積分來看。

fx, y)=cos xcos ycosxy

f作偏微分

這個問題我們會再大二高等微積分學習的到,我們要知道為何最小值是1,即發生在xy0,而zπ時,使11+(-1)=1,也是微積分最大、最小值問題。故這個問題的本質是微積分,若要將這提交給高中生,那是不太恰當的。

    另一個例子是柯西不等式的誤用。

   雖然一般情形無誤,但若θ有所限制時,可能使柯西“=”成立的條件不成立,故不能經由柯西求得極值。

另外也可能過度使用柯西不等式。

   

    Max4min3

    但若用柯西,變成

   

    不表示它等號必然發生,故此極值不一定存在。

    看待此題,可使用分配比例來看,

   

    而本題為,故要的最大,須將1全部分配給,使之成為3×04×14

由上述這些例子,可知我們應再交學生解題,和他們一起養成先作判斷的習慣,判斷這個題目該使用什麼策略。但學生求快,很可能掉過判斷的部分。如數學中很好的學生,在解x22x10時,用

 

    我們應該跟學生談公式的來源,什麼時候會發生什麼情況,讓學生掌控本質,才能運用時不致出錯,或因噎廢食,也就是讓學生對計算法本質有足夠的理解。

 

    再談證明在教學中的角色,演譯法是連一個小偷都懂得是,如小偷在法庭提不在場證明,大前提是偷者必在場,小前提是我不在場,結論是我不是偷者,這種三段式的演譯很單純,不需要弄得很複雜。我一直不理解高中為何要花一章來講邏輯?我們會用邏輯演譯,但不須使用一些名詞。譬如有一次聽到南部某名校的老師談一考題:“這次數學考題很難”是否為一命題?我覺得這個問題的公設背景微和並未釐清,所以其實很難回答。諸如此類,這樣的數學學習反令生活不易進行。

 

    1900年哥廷根大學教授Klein,他曾召集高中的數學老師研討高中數學教育的主要問題,出在高中課程與大學的不連接性,因大學重視科學的研究發展,並不想將高中所學數學和大學課程建立起關係所以一位朗師再受完大學教育後,回到高中任教,感覺不出大學教育對他的助益,因沒有關連,而不得再回到用原本方法去教高中數學。經過100年,這種被Klein稱為雙斷層性的現象是不是仍存在呢?

 

    此外他也注意到傳統的中學數學課程,只強調形式的演算技巧,不重視概念的發展,以及所介紹的數學知識太過於零碎,缺乏整體性的結構。

 

    現在回過頭來,從大學教什麼出發。譬如高中老師有一章在教行列式,若能將它在大學所學相關的數學聯繫起來,讓他知道大學中學道的那部分對這教學有用,則可使高中老師在一較高階的態度下去看待所教的高中內容,則可以因站在較高階的地位,知道這內容將如何發展,而對學生施與更為有用的教學。

 

 

研習老師提出問題之1向量符號似乎高中與大學有所不同?

  譬如:在電腦打字中,equation找不到此記號,是否我們高中採用此記號,有些出錯?

  老師回答:這只是記號的寫法,有些年前,表示線段長,則代表射線。

            我想使用記號並沒什麼國內、外的不同,而只是表達有所不同而已。在大學線代中為何看不見此種記,號,是因大學所指向量皆從原點出發,而無AB的需求。使用記號,應讓學生知道其中有些彈性,可能有不同寫法,連翻譯也只能盡量統一。雖然記號可能不同,或起始點的選取不加指定或有所指定,皆無礙魚向量所要表達的兩大要素:方向、大小。這種不計始點的設計方式,能使向量與向量之間的關係能毫無差錯地運作,以進行合力...諸等運算。

 

  老師舉例:一直圓錐被一平面截出橢圓,如何求得長、短軸?

            ∵平面非水平平面

            ∴為方便起見,須移至此平面上架設坐標軸,並作平移、旋轉,使產生最恰當的原點。

            向量本身即是一尋求最方便原點的操作。

 

研習老師提出問題之2是否可談到高中學生應受到何等啟發才有用?

請老師以自己的學習啟蒙過程中之特別處予以介紹。

  老師回答:我的學習先受到我母親的影響,每天下午為了我媽媽向雜貨店借報紙,一小時內看完後隨即歸還,故我認為閱讀很重要。一個小時若有閱讀習慣,將會自己去吸收東西。我在小時,即自己找高中數學課本來看,至今皆有很深的印象,是將一圓用切西瓜的方式切得很細很細...,則西瓜皮的邊緣形成一直線。

 

我在高二時有一很深的記憶,有一天830才到建中,不好意思到教室上課,故獨自到對面的植物園看書,看到餘式定理,

fx)=(xaqx)+r,而rfa  fx)式一多項式

我深為著迷,認為一個除法卻可以在沒有操作除法下得到除法結果。後來嘗試檢查,發現的確無誤,故自己認為道理是它可以除。一直到大學,再一次學多項式時,才注意到多項式的可除式猶如整數的體系。

 

又有一回,數學老師提問題,問

 

班上另一位成績很不錯的同學說此式不對,但其他人都說對;而我在老師指名下回答:「可對,也可不對。」被老師很生氣第一直臭罵,其實這件事只須對學生稍加提醒即可。

 

有一次,我看到一個三次因式分解:

我不懂,就拿去問我爸爸。我爸爸想了一會,告訴我它用除的除出來,而我也真的同樣成功除了一次。那時班上很多同學都看我那位老師所寫的因式分解書,但我不花時間在數學的參考書上。

 

我平時不會一直去算數學,但再一開始學到定義和課本例題時,我願意花很多時間去理解它,而這是很有用的。只要仔細去思考幾個問題,不斷作嘗試,則判斷力大增。作題目再一開始時要紮實,先讓自己深入了解,因有判斷力而知道什麼題目該做,什麼題目可略過。至於定理的證明很重要。

 

我認為好的數學式計算簡單,而想法深入。有一些時候我們在談高中教育時,是遇到學生的數學很濫,他們也許看不懂課本。如以前理科數學上冊所寫的微積分,寫的很好但很難。學生拿到題目,不必急躁,背很多公式在那邊耍;老師帶著學生作判斷,示範如何判斷,判斷錯誤時要使學生知道這錯誤經驗的助益是什麼,如何幫你導正回正確道路。判斷力的喪失,會使一個人費力而得少少成果,故維持判斷力將使永可擁有更高成就,且保持終生持續學習的動力。