球面三角學簡介

                 北一女中教師  陳珮如

一、       前言

我們在最近三角函數的單元,才剛學過平面三角形的正、餘弦定理,其實這樣的幾何性質並非在平面上才有,在球面上的球面三角形也有類似的正、餘弦定理,希望我們今天這堂課可以藉由對球面的了解,讓大家進入非歐幾何,甚至黎曼幾何的殿堂,繼而了解幾何學與現今科學發展的關係,讓有興趣的同學可以自己在未來多加涉獵。

我們知道在16世紀時,麥哲倫不畏艱難的完成了歷史上重大的冒險----航行地球一圈,這個舉動不僅將地理大發現帶上了最高點,加強了世界的聯繫關係並為資本主義提供了市場。同時它也為地圓學說提出了一個客觀的實證,為建立新的天文學與地理學奠定了基礎,並對近代科學的發展有不可估量的意義。

但這樣的實證方式,其實是有極大風險的根據歷史記載當時一起出航的船隻有5艘、水手有265而最後歷時三年航行地球一週卻只有18人生還。因此同樣的,現在場景換成是我們想了解宇宙的形狀為何,我們難道也派艘太空船去航行嗎?此外就目前所知,宇宙實在太大了,我們絕對不可能在資訊不足的情形下用實證方法去了解宇宙的。其實,在17世紀時,高斯在他擔任測量局長的期間,曾經利用測量面積的方法也驗證了地球是圓的,他利用在地表上取三點,並切割成許多小三角形,再量取每個小三角形的面積並加起來,但這樣所得的結果並不近似直接用平面上的三角形面積公式算原來的三角形的結果,而是近似球面三角形的面積公式。這個想法給我們一個啟發,或許即使我們不需航行宇宙,也可以以理論計算推導而知道宇宙形狀。

由許多天文觀測的結果我們認為宇宙應該不是平直的,直到近代,愛因斯坦的廣義相對論為宇宙空間的結構提出了更圓滿的解釋,他提出空間的結構不可能離開物質而獨立存在,空間的結構和性質取決於物質的分布,即物質的存在會使四維空間發生彎曲,引力並不是真正的力,而是時空彎曲的表現,如果物質消失,時空就回到平直的狀態。因此如果我們可以證明宇宙是彎曲的,則可為愛因斯坦的理論提供更可信的數學實證。

但目前並沒有發展出可以準確測量宇宙中任三點的弧長、面積的方法,所以如果未來儀器夠精良,可以準確的測量宇宙中任三點的面積(例如:三顆恆星),就可以為宇宙是平的(歐氏空間)或是一個彎曲的空間(這是廣義相對論的預測)提出一個客觀的證據。甚而或許由數學式的演算,可知宇宙的形狀,但這應該是拓撲學的範疇了。

今天我提供的內容只是球面幾何學,事實上對於一般的曲面我們就稱為流形(manifold),研究的工具是微分幾何,現在教的正弦、餘弦定理都是幾何學上的小域性(local property),至於最後提的面積公式則是大域性(global property),它們研究的是我們身處的空間,雖然我們並沒有跳出這個空間到更大的空間看我們生存的世界,但是卻仍可以對這個世界的形狀有一定程度的了解,據說,目前認為宇宙的形狀是一個輪胎面(Torus),但應該還未定論。

 

二、預備知識

 

2.()上的弧長s = r (其中的單位是弧度)

3.三垂線定理:

已知:平面E上有一定直線L, AE外一點,

 

4.球面上的直線與球面三角形:

(1) 球面上的直線:若一平面E通過球心O與球面上相異兩點A,B,則此平面與球面相交出一個大圓,則此大圓沿著球面決定出AB的唯一一線

(2) 球面三角形:若在球面上任取不共線的三點A,B,C,可以連成一個球面三角形ABC,其各內角的大小是由此角在球面上的兩邊作出的相切於球面的兩切線的夾角所決定

三、球面上的餘弦定理

餘弦定理:若已知球面三角形ABC的三頂點是ABC,其所對應的三邊分別是a, b, c,則我們有球面上的餘弦定理

   cos a = cos b cos c + sin b sin c cosA

 

 

      

所以代入(1)

 

 

:如同平面三角,在球面三角中,如果知道了兩邊及其夾角(SAS),利用餘弦定理就可以求第三邊,或者知道了第三邊(SSS),則三個角就因餘弦定理而決定了。

 

 

                                                       

  

 

2. (應用:計算地球上兩點間最短的距離)

 
如果綠園航空公司想開發新的從台北(T)到芝加哥(C)的航線,請問這兩地點的最短距離為何?(若從地球儀上可查出

且地球半徑r = 6371公里)

       

所以利用球面上的餘弦定理,可得                                   

   

          

         

 

四、球面上的正弦定理

正弦定理: 若已知球面三角形ABC的三頂點是ABC,其所對應的三邊分別是a, b, c

 

                                                

    

 

3(應用:計算地球上由A點到B點的航行角)

 

(若已知芝加哥(C),北極(N)所成的球面三角形中,

[]: 由球面上的正弦定理,

 

五、球面上的角餘弦定理

角餘弦定理:若已知球面三角形ABC的三頂點是ABC,其所對應的三邊分別是a, b, c

則我們有球面上的角餘弦定理:

cos C = cos A cos B + sin A sinB cos c

 
      

而其他邊角也有相同關係把這些關係式代入餘弦定理

          cos C = cos A cos B + sin A sinB cos c      

 

: (A)在平面三角中,三個內角不能決定出一個三角形的大小;但在球面三角中,因為有上面的角餘弦定理,所以,三個內角決定了,則三邊也唯一決定了,因此球面三角形的邊角,在AAA是可以唯一決定一個三角形,因此在球面三角形中,相似三角形即全等三角形

(B)球面和平面三角學有相似的地方,譬如,它們都有下列性質:

(1)大邊對大角、小邊對小角 (2)大角對大邊、小角對小邊

(3)等角對等邊、等邊對等角 (4)正弦定理、餘弦定理

 但也有不一樣的地方,例如

(1)球面三角形的三內角和

(2)球面三角形有角餘弦定理,所以三內角決定就可以唯一決定一個三角形

 

六、           三角形的面積公式

若已知球面三角形ABC的三頂點是ABC,其所對應的三邊分別是a, b, c,則我們有球面上的面積公式:

 

習題: 南美洲大致是一個球面三角形。請看地圖,大致決定三個頂點的經緯度,用餘弦定理求三邊長(參考例2中,如同求台北到芝加哥距離的做法一樣),然後再用餘弦定理求三個頂角,並代入上面提供的面積公式,求出南美洲的大約面積。

答案: 18,000,000平方公里(地球半徑r = 6371公里)

 

 

七、參考書目:

1.曹亮吉著 「談數學」  科學月刊叢書

2.威爾.杜蘭特 「科學的故事」 好讀出版

3.康明昌 「幾個有名的數學問題」 數學傳播季刊選輯