期中考試題分析與診斷教學    陳清良老師

 

摘要

分析期中考式的成績,診斷老師的教學效果,並探討與學生學習的互動關係。

 

前言

期中考雖然是階段性的成就測驗,但也可作為階段性的診斷教學:由於筆者所任教的學校,高一數學課程遵照教育部規定,每週排定四小時,但是目前的教材卻是以每週編定五小時的教學內容,所以筆者想藉由此次期中考的試題分析,來探究學生的學習能力是否與此因素有關,並藉此提供老師們作為診斷教學的參考。

 

壹、試題內容

以下是本校八十八學年度第二學期第二次期中考高一數學試題。

測驗日期:五月十一日。

測驗人數:1226人。

測驗時間:七十分鐘。

測驗範圍:高中數學第二冊第二章三角函數的基本概念。

 

試卷

一、單一選擇題:(每題5分,共25分)

1.a=-sec125°bcot(325°)c=-sin265°,則abc的大小關係下列何者正確?

 Abac  Bbca  Cabc  Dacb

文字方塊:  2.如下圖正方形ABCD中,2P為內部一點,

PBC為正三角形,則△PBC(斜線區域)為

 

 

 A)第一象限  B)第二象限  C)第三象限  D)第四象限。

5.在△ABC中,已知tanAtanB1,則下列何者恆正確?

 A  B)∠C90°  C)∠A45°  D

 

二、填充題:(每格5分,共50分)

1.θ為銳角,且cosθ8sinθ4,則secθtanθ之值為

2.θ45°,若cos2θ3cosθsinθ2sin2θ0,求cotθ

3.θ為銳角,若sinθcosθ為方程式xk0之兩根,試求常數k的值為

 

則△ABC的最大內角的度數為度。

 

 

7.分別由某座鐵塔的正西方A點處與正南方B點處,測得塔頂的仰角為60°30°,且

8.已知180°θ270°,且cosθ=-0.6053,試根據cos52°40′=0.6065cos52°50′=0.6041,以內插法求θ的近似值為

試求四邊形ABCD的面積為

 

三、計算證明題:(第110分,第二題5分,第三題10分,共25分)

文字方塊:  1.已知△ABC的三邊長分別為abc

 1)若,試證△ABC為鈍角三角形。

 2)若△ABC為銳角三角形,且a1b2

c的範圍。

2.試利用平行四邊形定理證明三角形中線定理,

即證明:若△ABC中,邊上的中線,

3.有一條東西向的筆直公路,某假由東往西行走,在其右側發現兩處突出的建築物A與建築物BA在出發點O的北30°西,B在點O的北60°西。當某甲往西走2公里,到達P點後,發現B在其北30°西,A在其北15°東處,試求:

 

 

貳、試題難易度

一、試題分佈與配分

教材章節

教材內容

題數

配分

21

銳角三角函數

2

10

22

三角函數的基本關係

3

15

23

簡易測量與三角函數值表

1

5

24

廣義角的三角函數

3

15

25

正弦定理與餘弦定理

9

45

26

基本三角測量

2

10

 

二、各題答對率

選擇題

1

2

3

4

5

答對率(%

48

81

55

86

79

 

填充題

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答對率(%

25

69

57

47

74

58

33

63

61

67

 

計算證明題

1

2

3

1

2

1

2

答對率(%

38

14

74

53

28

 

三、試題難易度分布

難易度

偏難

中等偏難

中等偏易

簡易

答對率(%

20以下

2030

3040

4050

5060

6090

題號

1(2)

1

3(2)

7

1(1)

14

3

36

3(1)

245

258910

2

題數

1

2

2

2

4

9

配分

5

10

10

10

20

45

 

 

 

參、試題簡答與分析

選擇

1

2

3

4

5

答案

C

B

D

D

B

 

 

 

由試題的難易度來看,本份試題有簡易題共65分,中等以上程度的同學一定可獲得及格,至於偏難或難的題型,佔了15分,可讓程度好的同學有挑戰高分的機會,雖然沒有檢驗本份試題的鑑別度,但也大略可看出本份試題可以分出程度。以下僅就本份試題大隊率教低或同學較溢出錯的題目作分析。

●選擇第1題的答對率只有48%,是有點意外,可見同學對於廣義角三角函數化成銳角三角函數再比較大小的概念不甚熟練。

1.a=-sec125°bcot(325°)c=-sin265°,則abc的大小關係下列何者正確?

 Abac  Bbca  Cabc  Dacb

(解)a=-sec125°sec55°1

       bcot(325°)cot25°tan55°tan45°1

       csin265°sin85°1

      

      abc

 

●選擇第3題是純粹式子的演算,過程也不繁雜,但只有55%答對率,顯見同學的計算能力卻有下降的疑慮。

  

     

     

 

●填充第4題是餘弦定理的應用,有些同學可能無法從等式中去判別哪一邊是最大邊,進而求最大角。

則△ABC的最大內角的度數為度。

 

      

      

      

       ∴∠C120°為最大內角

 

●填充第6題為一般傳統型的題目,已知三中線長求三角形面積方法有多種,本題數據又不煩,答對率只有33%,真讓人費解。

(解)設重心為G

      

       在△BGC中,由三角形中線定理知

      

       或先利用餘弦定理求cos(BGC)0  ∴∠BGC90°

      

      

 

●計算證明題第1題的第(1)小題,試利用餘弦定理判別即可,卻只有38%的答對率,顯見同學對這種基本觀念的證明不甚重視。尤其第(2)小題,已有第(1)小題的提示,答對率卻最低14%,可見同學對必須分析條件、統合觀念的題目最沒有把握,這也是老師們在教學上必須特別花時間講解清楚的。

1.已知△ABC的三邊長分別為abc

  

 2)若△ABC為銳角三角形,且a1b2,求c的範圍。

         

          即△ABC為鈍角三角形

     2)∵abc為三角形三邊長

         

          ∵△ABC為鈍角三角形

         

         

         

 

●計算第3題是三角測量的問題,只要依題意、方位畫出圖形再利用正弦定理與餘弦定理求解,本題對同學而言應不是難題,可能是擺在最後一題,同學有時間的急迫感,造成錯誤,或來不及解答,才會造成難易度偏低的結果。

3.有一條東西向的筆直公路,某假由東往西行走,在其右側發現兩處突出的建築物A與建築物BA在出發點O的北30°西,B在點O的北60°西。當某甲往西走2公里,到達P點後,發現B在其北30°西,A在其北15°東處,試求:

 1=?  2=?

     2)在△OAP中,∠POB30°,∠PBO180°120°30°

          ∴∠POB=∠PBO,即

         

          

 

四、結論

1.從本份試題與內容難易度分析,可見每週四小時的教學內容,在趕課之餘,實在無法清楚交代一些該提醒同學的數學觀念或方法。至於課堂上解題方法的解說也可能匆匆帶過,這些化簡的過程或技巧,同學只好自己摸索或體會,本校的同學雖然素質、程度都不錯,但從這份試題的得分中,顯見同學們的計算能力確實有點下降。

2.數學的教學,著重觀念的解析與解題能力的培養,這須都必須時間的配合,筆者認為以高依目前的教材,每週四小時授課,確實是不夠的,尤其今年九月將進入高一的新生,他們是國中新教材的第一屆,國中新教材精簡了不少內容,這些落差到了高中,若沒有多花時間填補,同學們在數學的學習上衣定會遭到不少的障礙,在此也期盼數學教育的工作伙伴們,一起來幫他們解決困難吧!