數學的魅力    

孫智偉教授  (南京大學數學系)  E-mail zwsun@nju.edu.cn

 

作為人類精神最原始的創造,只有音樂堪與數學比美。

                邏輯是不可戰勝的,因為要反對邏輯還得使用邏輯。

        僅以此兩句話作為開場白,提示數學文化和一般文化的差異頗大。

 

(一)數學文化的獨特性

1.      曲高和寡

2.      源遠流長

3.      是非分明

4.      純粹數學與應用數學並存

 

解數學一直是很多人有障礙的事,我認為一個原因是「曲高和寡」。

以數學發展的眼光來看,高中全部數學的內容學完,你的水平在十七世紀而已;即使學到大學微積分,也只不過到達十八世紀水平,因此數學的「源遠流長」也是這學科學習困難的原因之一,不似其它物理、化學沒有這麼長的發展史,社會學更是不能相提並論。

再來,數學的其它特色是「不為權威所左右」,任何一位年輕人只要對數學有好的見解都能出頭,沒有人會永遠屹立高位。此外,「純粹理論與應用」並陳稱為費馬最後大定理。如果要證明這個定理。必須學過數十年的數學,直到1995年才解決,動用了所有現代的數學,且世界上沒幾十人了解它的証明。這麼難証的定理,在廿世紀被証出來,可說是一大成就,但它有什麼用呢?它只是純數學。喜歡純數學的人,認為應用數學銅臭味十足。Jacobi就支持純數學,認為從古以來,一些似乎應用不上的數學到終卻可能有用。而另一些應用數學學派的人,則持另一觀點,認為我們應該研究一些跟生活有應用性的數學。因為相當多的數學內容是純粹理論範圍,所以它不必是一般人所理解接納,它可說是人類的「心靈活動」

 

(二)數學的美與和諧

        數學家哈定(Hardy)曾說數學好不好的選擇標準是嚴肅(即正確)及美觀。數學的進行,極須想像,由此而建構出美的內容,數學比藝術更須想像,更需要靈感,也是最有理智的藝術,以下來看一些表現數學美的例子:

1.「勾股弦定理」

                                              

2.再舉另一例,數學中最重要的五個常數0Ie

               

               

                多奇妙的關係!

3.第三例子是四色定理:地圖上不管多少國家,分布情形複雜度如何,則想將相鄰國家用不同色隔開,至多只須四種不同顏色。

                       

        從上圖,知國家一多,至少要四色;但為何四色也是足夠多的數量,這個猜想也是很難証明的。直至1972年,兩數學家用電腦輔助,條列各種可能分布,然後証明為定理。

4分析中例子:

       

容易理解,但十分優美。

5.每個自然數都可表示成四個整數的平方和。如7=22+12+12+12,但7不能用三個整數平方和表示。這個問題由尤拉解決,而這問題延伸成:

目前已找到:

每個自然數可表示9個整數的立方和;

整數的四次方和;

37個整數的五次方和;

 

6.Goldbach的猜想

每個大於4的偶數都是兩個奇質數之和。

如:  6=3+3  12=5+7  8=3+5  14=7+7=11+3  10=5+5

對此問題,大陸數學家陳景潤已做到一大突破,只要是足夠大偶數,可寫成兩部分之和,其一是質數,另一是質數或兩質數之積。

 

7.Collatz猜想:任何正整數進行此化約步驟:

→可以最後在某一步驟,得到an=1

這表示這些數將趨於穩定。

 

由上面這些例子,我們可感覺數學的美,有調和、優雅,這是所有數學家都知道的真正美感,音樂和數學可以說有共通的靈魂,只不過音樂是夢幻、而數學是現實。

 

 

() 代數方程求解引起的革命

考慮n次代數方程式

n=1,2,都已有一般常用的求解公式;但對一般的n次方程式,又如何求解?

首先,作一平移變換,使次高項消去。

 

 

 

    1535年,N. FontanaFior222日公開競賽,其中比賽解三次式,而Fontana有辦法把對方所出的任何三次式解出故獲勝,後由Cardano將此求解公式寫入自己發表的書中,故世人稱三次公式求解為Cardano公式。

   

x=a+b

首先,

 

四次根求解公式

∵左式已是完全平方,故只要右式亦成完全平方,則可兩邊開方求解

故須令二次判別式=0

請注意,這是t的三次式,故須用到Cardano解法

第三次式解決

再解出

 

由於以上三次,四次式的解法太複雜,而找尋過程有些巧合與偶然性,故Lagrange統一找輔助方程式,求得一至四次方程的求根公式。的但這手法到五次以上方程式即失效,五次方程式只有特殊的式子可解。

               

其中

Abel (1802~1029)証明只要五次以上的一般代數方程式求根公式不存在,所以大家都找不到。Abel所研究的數學內容,曾有另一位數學家評論這些足夠一般數學家工作150年,可見他是一位天才。

Galois則徹底解決方程式的求解,引入「群」的概念,找出判別方法,可知 構。簡單地說,Galois之前的代數是古典代數(初等)可放在高中學;而Galois之後的代數是高等代數,須放在大學學。

這兩位數學天才,在發展自己驚人的數學成就時,都因太過高深先進而被數學家摒棄,一直到很久以後才重獲重視。Galois的理論,一直到現代,有些大學教授也無法理解。Abel  27歲死於肺炎,Galois  21死於決鬥。

 

()集合論與數學基礎

Cantor當初提出集合論時,許多有成的數學家無法接受,故大加攻擊,甚至致使Cantor死於精神病院。但隨著時間流逝,Cantor的集合論被接受,甚至所有理論都要使用集合論。但集合論的大放光明,是在Russell提出悖論後造成的,

此悖論無從解決,問題出自集合的定義。很難作出一個完全清楚的定義,只要一下定義就很容易出錯,故數學家決定不下定義,如什麼是直線:沒有寬度的線就是直線。但這樣引起數學的第三次危機,後來數學分成三大流派:

Russell:邏輯主義學派,認為數學和邏輯是不可分的

Brouwer:直覺主義學派,曾說:上帝創造自然數,其他都是人為的。

Hilbert:形式主義學派,認為好的公理系統須有獨立性、相容性、完備性

 

Hilbert曾認為公理系統有完備性,故只要數學沒有矛盾,則整個體系套用都沒有矛盾。只要對的東西都存在証明,但Gödel打破Hilbert這個美思,裡面的內容指出,在數學內不能証明數學沒有矛盾,所以它仍有侷限性,「相容」和「完備」不能並存,想弄沒楚這個系統,有時須跳出這個系統才能達成。如想完全了解地球,可能要在地球外觀察,人類要想完全解出大腦的奧秘,似乎不可能。Gödel所提出的定理,既像數學,又似哲理。Gödel對現代邏輯的貢獻是不朽的,他的不朽超過了紀念碑。Gödel後來榮獲愛因斯坦勳章,Gödel定理一:任何一個公理可能列舉的包含算數的相容公理系統中,都有一個命題使他及其否定均在該系統內不可證,而且系統的相容性在該公理系統中得不到證明。