算術平均數(A.M.)大於,等於幾何平均數(G.M.)

鄭國恭老師

                            算術平均數(A.M.)大於,等於幾何平均數(G.M.)左式是高中課程中蠻重要的不等式之一,但限於課程進度,老師往往只教授其應用,而無法作完整的證明,有鑑於此,底下將補其不足.

  在正式證明之前,先討論n = 2,4,3的情形.

n = 2時,即 .

證明: ,

      當等號成立時,.          

證明:利用n = 2之情形可得

     ,

   

   

練習:請自行證明n = 8,6的情形.

  

往下將依此兩情形逐一證明A.M.≧ G.M.

 

                             

     

         .

      當m = k+1時,

     

      ;

當等號成立時,

    

        ,

             

       

       

  證明到此告一段落,下面將介紹一些算術平均數(A.M.)大於,等於幾何平均數(G.M.)的例子.

    

證明:由A.M.≧ G.M.得

,

      .

    

    

       

    

       

:由A.M.≧ G.M.得

:由A.M.≧ G.M.得

.

應用題:

8:試證等周長的矩形以正方形的面積為最大.

    

     等號成立.即邊長相等的正方形為矩形中面積最大的.

練習:某花農打算用鐵絲網圍成一面積為400m2的矩形苗圃培育花苗,問他最少需用多少公尺

     的鐵絲 ?

9:試證等周長的長方體以正方體的體積為最大.

     

      等號成立.即邊長相等的正方體為長方體中體積最大的.

練習:(1)表面積為54m2的長方體紙箱,最大體積可為多少 ?

     (2)某奶粉工廠欲訂購一批圓柱形的鐵罐,問應如何設計才最節省材料 ?