柯西不等式是高中數學中,異於算術平均數(A.M.)大於等於幾何平均數(G.M.)的另一個重要的不等式,與算術平均數(A.M.)大於,等於幾何平均數(G.M.)一樣,礙於課程進度,任課老師可能無法證明或作完整的證明,往下將舉一些不同的證明,以茲參考.

 

 

      

      

      

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方法三:利用數學歸納法證明之.        

           

 

               

      

      

接著利用數學歸納法證明之:

n = k時,

n = k+1時,

 

方法四:用向量的內積証之.

      

      

      

      

       

 

證明到此告一段落,下面將介紹一些柯西不等式的例子.

:由柯西不等式得,  

       

 

練習:求

  

練習:(1)例2可否用A.M.≧ G.M.解之 ?是的話,請證明之,否則說明理由.

    

    

證明:先將原式變形為 

     

     由柯西不等式可立得之.

 

練習:試證下列不等式

   

   

   

      

 

                  

     

     

     

       

     (2)分別以三角形之每一邊為邊作一正方形.若固定三角形的周長,試問何種三角形,

        會使此三個正方形面積之和為最小 ?